几何原本中的勾股定理证明步骤是什么？

证法5(欧几里得的证法)

在《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。

1. 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。
2. 从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形，此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下：

• 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。（SAS定理）
• 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
• 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
• 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下：

1. 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。
2. 在其边BC、AB、和CA上依次绘制四方形CBDE、BAGF和ACIH。
3. 画出过点A之BD、CE的平行线，此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
4. 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。
5. ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。
6. ∠CBD和∠FBA皆为直角，ABD等于∠FBC。
7. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，ABD 必须相等于△FBC。
8. 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。
9. 因为 C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
10. 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。
11. 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。
12. 把这两个结果相加, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC。
13. 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC。
14. 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2。

这是欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的证明。